당신이 무엇을 배우고 있다는것은 어제의 당신보다 훨씬 높은 가치가 되었다는 것이다

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y[n] = h[n]*x[n]

FIR filter는 LTI 시스템의 한 예로, 선형적이며 시불변성을 가집니다.

Impulse response h[n]은 입력이 델타로 표현될 때, y[n]을 결정시켜주는 시스템입니다.

h[n]에 의해 들어온 input들이 처리되어 각각의 하나의 신호를 만들며

그들이 겹쳐지는 신호합을 구하는 과정을 convolution 이라고 합니다.

아래는 h[n]과 x[n]의 impulse response가 주어졌을 때, y[n]을 구하는 convolution 과정입니다.

위의 convolution 작업을 c++을 이용하여 구현하였습니다.

아래는 H[n]과 X[n]이 배열로 주어졌을 때, 

Y[n] 결과와 그 Matrix를 출력하는 프로그램입니다.

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

int main()

{

    int x[] = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}; //x[n] input

    int h[] = {1,-1, 2,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}; //h[n] system

    int matrix[100][100] = {0,};

    for(int i=0;i<sizeof(h)/sizeof(int); i++){

        for(int j=0;j<sizeof(x)/sizeof(int); j++){

            matrix[i][i+j] = h[i]*x[j]; // convolution

        }

    }

    for(int i=0;i<sizeof(h)/sizeof(int); i++){

        for(int j=0;j<sizeof(x)/sizeof(int); j++){

            cout<<setw(3)<<matrix[i][j];

        }cout<<endl;

    }

}

time domain에서 rect func은 수많은 사인파들의 합으로 이루어져있음

여기서 수많은 사인파들은 서로 다른 freq를 갖는다.

frequency domain에서 각각의 freq에 따른 amplitude를 나타내면(fourier transform)

그 결과가 바로 sinc func이 됨.

1. 인과성 (Causality) ㅇ 현재 출력이 현재,과거의 입력에 만 의존하는 성질 - 현재 응답이 미래 입력을 미리 요구하지 않음 - 입력이 시작되기 전에는 출력이 나오지 않음 (어느 정도 입력된 후부터 출력됨) ㅇ 인과성에 대한 필요충분조건 - 연속시스템 : 임펄스 응답 h(t) = 0 (t < 0) - 이산시스템 : 임펄스 응답 h[n] = 0 (n < 0) ㅇ 인과시스템 특징 - 물리적으로 실현가능한 시스템 . 이미 도착한 것으로부터 출력을 만들어내는 지극히 당연한 시스템 - 메모리(기억성) 여부 . 무기억 시스템은 항상 인과적임 - 위상 특성 . 인과적시스템은 영 위상일 수 없음 - 전달함수 특성 . 분모 다항식의 차수가 분자 다항식의 차수 보다 높아야 함 .. 극점(Pole)이 영점(Zero) 보다 많거나 같아야 함 - 임펄스응답 특성 . 임펄스응답이 계단함수가 될 때 즉, h(t) = u(t)이면 당연히 인과시스템 임 2. 비 인과성 (Non-causality) ㅇ 현재 출력이 현재,과거의 입력 뿐만 아니라 미래의 입력에도 영향을 받음 - 현재 응답이 미래 입력을 미리 요구하고 있음 - 만일 현재 출력이 미래 입력도 필요하다면 비인과적 . 例) y[n] = x[n+1] .. n=0 에서 y[0]=x[1] 즉, 현재 출력 y[0]이 미래 입력 x[1]을 필요로 한 경우임 - 즉, 입력이 시작되기 전부터 이미 출력이 있어 온 경우 ㅇ 비인과시스템의 대표적인 例 - 이상적인 LPF는 오히려 비인과적임 ( t<0 에서 h(t)≠0 ) - 따라서, 이상적인 필터함수에 근사화시키는 설계 방법이 쓰여지게됨

http://doctord.dyndns.org/courses/bei/ee301/EE235/EE235/Project/lesson17/lesson17.html

The properties of the Fourier transform are summarized below. The properties of the Fourier expansion of periodic functions discussed above are special cases of those listed here. In the following, we assume  and .

• Linearity 
  
  
  
  

• Time shift 
  
  
  
  
  Proof: Let , i.e., , we have 
  
  
  

• Frequency shift 
  
  
  
  
  Proof: Let , i.e., , we have 
  
  
  

• Time reversal 
  
  
  
  
  Proof: 
  
  
  
  
  Replacing  by , we get 
  
  
  
  

• Even and Odd Signals and Spectra

  If the signal  is an even (or odd) function of time, its spectrum  is an even (or odd) function of frequency: 
  

  
  
  
  and 
  
  
  
  
  Proof: If  is even, then according to the time reversal property, we have 
  
  
  
  
  i.e., the spectrum  is also even. Similarly, if  is odd, we have 
  
  
  
  
  i.e., the spectrum  is also odd.

• Time and frequency scaling 
  
  
  
  
  Proof: Let , i.e., , where  is a scaling factor, we have 
  
  
  
  
  Note that when , time function  is stretched, and  is compressed; when ,  is compressed and  is stretched. This is a general feature of Fourier transform, i.e., compressing one of the  and  will stretch the other and vice versa. In particular, when , is stretched to approach a constant, and  is compressed with its value increased to approach an impulse; on the other hand, when ,  is compressed with its value increased to approach an impulse and  is stretched to approach a constant.

• Complex Conjugation

  
  

  
  
  
  Proof: Taking the complex conjugate of the inverse Fourier transform, we get 
  
  
  
  
  Replacing  by  we get the desired result: 
  
  
  
  
  We further consider two special cases:
  • If  is real, then 
    
    
    
    i.e., the real part of the spectrum is even (with respect to frequency ), and the imaginary part is odd: 
    
    
    
    

  • If  is imaginary, then 
    
    
    
    i.e., the real part of the spectrum is odd, and the imaginary part is even: 
    
    
    
    

  If the time signal  is one of the four combinations shown in the table (real even, real odd, imaginary even, and imaginary odd), then its spectrum  is given in the corresponding table entry:

  	if  is real	if  is imaginary
  	even,  odd	odd,  even
  if  is Even
  and  even	,  even	,  even
  if  is Odd
  and  odd	,  odd	,  odd

  Note that if a real or imaginary part in the table is required to be both even and odd at the same time, it has to be zero.

  These properties are summarized below:

  1	real	even , odd
  2	real and even	real and even
  3	real and odd	imaginary and odd
  4	imaginary	odd , even
  5	imaginary and even	imaginary and even
  6	imaginary and odd	real and odd

  As any signal can be expressed as the sum of its even and odd components, the first three items above indicate that the spectrum of the even part of a real signal is real and even, and the spectrum of the odd part of the signal is imaginary and odd.

• Symmetry (or Duality)

  
  

  
  
  
  Or in a more symmetric form: 
  
  
  
  
  Proof: As , we have 
  
  
  
  
  Letting , we get 
  
  
  
  
  Interchanging  and  we get: 
  
  
  
  
  or 
  
  
  
  
  In particular, if the signal is even: 
  
  
  
  
  then we have 
  
  
  
  
  For example, the spectrum of an even square wave is a sinc function, and the spectrum of a sinc function is an even square wave.

• Multiplication theorem

  
  

  
  
  
  Proof: 
  
  
  

• Parseval's equation

  In the special case when , the above becomes the Parseval's equation (Antoine Parseval 1799): 
  

  
  
  
  where 
  
  
  
  
  is the energy density function representing how the signal's energy is distributed along the frequency axes. The total energy contained in the signal is obtained by integrating  over the entire frequency axes.

  The Parseval's equation indicates that the energy or information contained in the signal is reserved, i.e., the signal is represented equivalently in either the time or frequency domain with no energy gained or lost.

• Correlation

  The cross-correlation of two real signals  and  is defined as 
  

  
  
  
  Specially, when , the above becomes the auto-correlation of signal  
  
  
  
  
  Assuming , we have  and according to multiplication theorem,  can be written as 
  
  
  
  i.e., 
  
  
  
  
  that is, the auto-correlation and the energy density function of a signal  are a Fourier transform pair.

• Convolution Theorems

  The convolution theorem states that convolution in time domain corresponds to multiplication in frequency domain and vice versa: 
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  Proof of (a): 
  
  
  
  Proof of (b): 
  
  
  

• Time Derivative 
  
  
  
  
  Proof: Differentiating the inverse Fourier transform  with respect to  we get: 
  
  
  
  Repeating this process we get 
  
  
  
  

• Time Integration

  First consider the Fourier transform of the following two signals: 
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  According to the time derivative property above 
  
  
  
  
  we get 
  
  
  
  
  and 
  
  
  
  
  Why do the two different functions have the same transform?

  In general, any two function  and  with a constant difference  have the same derivative , and therefore they have the same transform according the above method. This problem is obviously caused by the fact that the constant difference  is lost in the derivative operation. To recover this constant difference in time domain, a delta function needs to be added in frequency domain. Specifically, as function  does not have DC component, its transform does not contain a delta: 
  

  
  
  
  To find the transform of , consider 
  
  
  
  
  and 
  
  
  
  
  The added impulse term  directly reflects the constant  in time domain.

  Now we show that the Fourier transform of a time integration is 
  

  
  
  

  Proof:

  First consider the convolution of  and : 
  

  
  
  
  Due to the convolution theorem, we have 
  
  
  
  

• Frequency Derivative 
  
  
  
  
  Proof: We differentiate the Fourier transform of  with respect to  to get 
  
  
  
  i.e., 
  
  
  
  
  Multiplying both sides by , we get 
  
  
  
  
  Repeating this process we get 
  
  

많은 학생들이 convolution의 의미를 모르고 그냥 배운대로 계산만 하는것 같다. 얼마전 아는 후배도 convolution의 의미에 대해 물어본적이 있는데 나도 학부시절 고민하던 것으로 혼자 골똘히 생각해 보다 이해하게 된 것인데 전자공학을 공부하는 학부생들의 이해를 돕고자 글을 올린다.